第一章 小学数学教学设计理论

教学设计概述与定义

• **教学设计（instructional design, ID）**是教师运用系统方法，分析教学任务和学习者特征，确定教学目标，选择策略手段，制定教学流程，评价教学效果，以达到课堂教学最优化的编制教学预案的过程.
• 教学设计有两个基本要素：教学目标和预案.

教学设计理论的发展与流派

• 教学设计理论在学习理论基础上发展起来，于 20 世纪 60 年代后期逐步盛行.
• 大致可分为两大流派：
  • 以“教”为中心的教学设计理论.
  • 以“学”为中心的教学设计理论.

以“教”为中心的教学设计理论

• 理论基础主要是行为主义学习理论，重在外部刺激，实质是教师牵着学生的鼻子走.
• 代表模型是**“肯普模型”（Kemp Model）**.
  • 由 J.E. Kemp 在 1977 年提出，后经多次修改完善.
  • 强调四个基本要素：教学目标、学习者特征、教学资源、教学评价.
  • 解决三个主要问题：“教什么”“怎么教”“教得怎么样”.
  • 安排十个教学环节（来源中未详细列出十个环节具体内容）.
• **案例 1（加法估算）**中的蒋老师课堂属于这种类型，教师是课堂主宰，急于肯定符合要求的回答，否定不符合要求的回答，过早追求最优化，不能有效促进学生数学思维发展. 这种模式过多依赖外在奖励，不利于培养内在持久的学习兴趣.

以“学”为中心的教学设计理论

• 理论基础主要是建构主义学习理论.
• 随着建构主义发展，以“学”为中心的教学设计日益被接受，“以学定教”、“自主探究”落实到教学活动中.
• 加涅在《教学设计》（第五版）中认为，教学不仅关注教师教什么、如何教，更关注学生的内部学习过程，教是支持学习的外部条件.
• **案例 1（加法估算）**中的崔老师课堂体现了以学生为中心的理念，通过学生感兴趣的话题引出问题，让学生自由讨论探究多种方法，不急于肯定或否定，提供自主探究和安全自由的学习空间. 这体现了以学生为主体的课堂教学新理念.
• 史密斯（P.L.Smith）和拉根（T.J.Ragan）合著的《教学设计》提出了史密斯-拉根模型，结合了行为主义和认知主义理论.
  • 将设计过程分为三个模块：教学分析、策略设计、教学评价.
  • 教学评价贯穿整个环节，体现预设与生成之间的辩证关系.
  • 策略设计中，不仅关注传递策略，更强调通过组织策略实现学生的主动探究.
  • 史密斯-拉根模型的最大特点是强调教学活动设计的策略：组织策略（内容组织方式、顺序），传递策略（媒体选用、交互方式），教学资源管理策略（资源分配使用）.

“双主模式”

• 20 世纪 90 年代我国提出的一种模式，认为教学是师生双边活动.
• 课堂教学既要发挥教师的主导作用，又要充分体现学生的认知主体作用.
• 促使教师关注学生真实需求和学习积极性.
• 在实际操作中，常因大班化教学、教师思维定势等，结果仍以教师为主. 教师不习惯“放权”给学生，担心课堂纪律失控.
• 这种模式试图结合行为主义和认知建构主义，突破单一的“教师为主，传授知识”模式.
• 在分科教学和大班化背景下难以达到理想效果，流行一段时间后少有人提及.
• 但在促进教学从“传授知识”向**“以教导学”**发展方面起了实质性作用.

小学数学教学设计的核心理念

小学数学教学设计有三个核心理念：关注人的发展、凸显数学学科特点、关注小学生的学习特点.

核心理念之一：关注人的发展

• 在小学数学教学设计中，首先要关注人的发展.
• “立德树人”是中国特色社会主义教育事业的根本任务，以树人为核心，以立德为根本.
• 只有从育人的高度分析任务、设计策略、开展评价，才能让小学数学教学设计脱离学科局限.
• 每一堂课都是在播撒思想的种子，影响学生的思维，最终影响命运. 教师要播撒积极正面的种子.
• 小学数学教学是义务教育初始阶段，要注意面向全体学生.
• 设计和选择最有价值的数学内容.
• 提供现实而有吸引力的学习背景，促使学生自主探索和合作交流.
• 养成良好学习习惯和正确思维方式，使学生的知识技能、情感态度价值观都得到发展.
• 儿童能力发展具有普遍性，也存在个体差异（发展水平、知识结构、特殊能力等）.
• 理解个体差异可通过**“最宜发展区”**来理解.
  • 最宜发展区是以儿童先天禀赋和现有能力为基础，通过教学可达到的最能体现儿童个体特长的发展广度和深度的总和. 它显示了儿童的主要发展潜能和优势方向.
  • 对于均衡发展的儿童，最宜发展区可能是环形的，全面扩展，但有侧重，涉及最佳发展序.
  • 对于偏科的儿童，最宜发展区可能非常狭长.
  • 教师要观察每个学生的最宜发展区，关注他们的最佳发展序.
  • 最佳发展序是指与儿童个体潜能相符的，能被教学正确反映的各种能力发展的先后次序、不同发展速度和进程的客观规律性.
  • 让学生在适当的时间学他愿意学的知识，提出合适的学习要求，在最宜发展区内按最佳发展序发展.
  • 新课标强调：让不同的人在数学上得到不同的发展.
• 将不同阶段的最宜发展区和最佳发展序结合，构成儿童个体能力的整体发展区域（逐渐外扩的阴影部分）.
• 核心理念是关注人的发展，从人的发展的高度来设计每一节课、每一个教学环节. 这是小学数学教学设计要坚守的**“小学数学教育观”**.
• 树立正确的教育观，才能克服分科教学弊端.
• 教师不再是照本宣科，而是考虑提供好的内容素材促进学生能力发展.
• 数学知识只有通过学生自身的**“再创造”**，才能被纳入认知结构，成为有效的、可迁移的、用得上的知识.
• **案例 2（分数的初步认识）**中吴正宪老师通过让学生自主探究、表达想法，学生“创造”出分数，理解含义，经历生命成长过程. 教学体现了知识发展的阶段性，符合认识规律，让学生经历“做数学”的过程.

核心理念之二：凸显数学学科的特点

• 小学数学教学设计的核心理念之一是关注人的发展，另一个核心理念是凸显数学学科的四个基本特点，展示数学特有的逻辑结构和符号语言系统.
• 这些特点包括：高度抽象性、符号统一性、严密逻辑性、应用广泛性.

数学学科的发展趋势

• 数学内部各分支相互渗透以及与其他学科交叉融合. 要求选择内容时更多考虑发展学生的思维方式，使其更符合社会发展需要.
• 计算机发展为数学开辟新领域，使数学成为形式科学与实验科学结合，形成了数学活动新形式. 需要重新思考学生应掌握的基础知识技能. 如加强概率统计内容，重在转变思维方式，从读懂统计图表入手. 算法思想、离散数学、计算器使用等要求教学从只关注计算转向注重从计算和数据中发现规律，领悟思想，掌握方法.
• 数学应用领域日趋广泛，几乎成为自然技术科学和社会管理科学的共同智力资源. 数学教学应提供整体的、现实的、与计算技术和其他学科密切相关的数学，而不是分散孤立的纯形式逻辑；是大众的数学，而不是少数精英的数学.

不同数学观影响下的教学设计

• 将数学看成动态的、以问题为主线的过程，教学重视让学生经历生成发展过程，强调**“做数学”**.
• 将数学看成静态的、统一严密的逻辑体系，教学以概念为主导，注重内涵和推理的逻辑性，强调**“为什么”**.
• 将数学看成各种事实、规则和技能的工具袋，教学突出规则、步骤演示，强调操作程序，不重证明，只要求熟练应用.
• 以教为中心的教学设计常只关注数学内部理论结构和逻辑关系，忽视产生过程、实际应用、与生活的联系，把知识当成天上掉的“馅饼”，导致学生“学了许多数学，但是不会用它去解决实际问题”.

数学学科特点的具体体现

• 高度抽象性:
  • 小学阶段完成抽象过程的 1-3 层，抽象方法是相同的.
  • 要“撇开事物的非本质特征，找到共同的、本质的特征进行抽象，并用符号表达”.
  • 让学生了解抽象过程，掌握抽象方法，促进今后学习和发展，值得花时间领悟和掌握.
  • 教学设计中要拉长教学时间，展示抽象过程，让学生有领悟思想方法和体验抽象过程的时间.
  • 学生在领悟体验中理解数学，实现知识的**“再创造”**.
  • 要注意，“再创造”不是“发现学习”，不是不考虑时间成本，毫无目标地“瞎探究”.
  • 奥苏伯尔将学习分为机械学习和有意义学习.
    • 有意义学习：理解知识内在含义，能与其他相关知识建立联系，学到“活”的知识.
    • 机械学习：只记住符号公式，只会模仿操作步骤，不明白道理，学到“死”的知识，在新情境中不能有效迁移.
  • 奥苏伯尔将学习方式分为接受学习和发现学习. 接受学习不一定不是意义学习，发现学习不一定一定是意义学习. 关键在于是否关注学生，是否注意了学生的内部条件（心理准备、原有知识经验），是否创造了良好外部条件（新旧材料建立非人为、实质性联系）.
• 符号统一性:
  • 数学是“最具公共语言的一门学科”，各国数学和数学教育具有很大一致性. 这种共性奠定了比较研究和数学全球化的基础.
  • 数学发展至今已成为符号化的世界. 符号用于传达数学思想，推动自身发展.
  • 数学符号以浓缩形式表达大量信息，简化运算推理，加快思维运转.
  • 数学符号约定后具规范性，不能随意改动.
  • 小学数学是构建符号化世界的基础阶段.
  • 要让学生感悟符号产生发展，体会符号、图形、表格、关系式的魅力.
  • 让学生愿意认识、亲近、使用数学符号表达思想.
  • 教学设计中，要让学生经历符号化的过程，体会数学约定的合理性，掌握数学特有符号语言系统.
  • 把生活语言用数学符号表达，有助于揭示事物本质属性.
• 严密逻辑性:
  • 数学教学不仅教知识，更重要的是让学生形成正确思维方式，提高逻辑思维能力. 这是数学教学的核心所在.
  • **案例 3（交换律）**中，教师将加法和乘法交换律安排在一课时，体现了理念创新（提高效率，凸显整体结构）. 但实际教学中，问题抛出太大，学生举例五花八门，思维跳跃，导致“启而不发”，教学设计逻辑框架有问题.
  • 案例 4（交换律）沈百军老师的教学片段不仅关注符号化渗透，还关注培养合情推理能力（归纳法、类比法），更关注数学证明的思想和方法，凸显了数学教育本质——培养逻辑思维能力.
• 应用广泛性:
  • 生活中处处有数学.
  • 可以利用数学知识解决实际问题，如图 19 中的利益分配问题.
  • 教师要习惯并会运用数学知识解决实际问题，才能引导学生学会数学思维，用数学眼光观察分析生活生产问题，让数学成为必要知识.
• 凸显数学学科特点是数学教学设计的根本:
  • 小学数学教学的核心理念是从学生发展的高度宏观设计教学活动，同时把握本体性目标——让学生学会从数学视角观察世界，学会论证，学会有条理、有根有据的逻辑思维方法.
  • 数学教育不仅提高解题能力，还要让学生学会从数学视角观察世界、解释世界，用数学思维思考解决问题，培养学习兴趣.

核心理念之三：关注小学生的学习特点

• “新课标”下，教学设计需要更多地关注学习者本身.
• 影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，要根据学生原有的知识状况进行教学（奥苏伯尔观点）.
• 要把研究学生**“怎么学”**作为教学设计的前提和教师专业成长的基础.

建构主义学习观

• 认为主体已有的认知结构在学习过程中作用特别重要.
• 学习过程是学习者根据先前认知结构主动、有选择地知觉外在信息，建构当前事物意义的过程.
• 学习过程中要增进学习者之间的合作，使其看到不同观点，完善对事物的理解.
• 情境、合作、会话和意义建构是建构主义学习理论的四个要素.
• 建构主义发展对传统教学带来冲击，教学中心由教师转向学生，目的是培养善于学习的终身学习者.
• 学习观之一：知识不能简单传授，只能由每个学生依据已有知识经验主动建构.
  • 不能用主观分析代替学生真实思维活动.
  • 也不能认为抽象数学知识可通过个人“自学”形成.
  • 教师主要职责应是创设良好学习环境促进学习.
  • 根据小学生知识经验少、思维水平低的特点，教师更应重视教学环境的创设. 这是建构主义指导下现代数学教学设计的第一原则. 现代教育技术提供广阔天地.
  • 例如，用现代教育技术模拟相遇问题的实际情境，提出多样化甚至开放式问题讨论.
• 学习观之二：实际教学活动不是简单重复历史进程或数学家思维过程，而是揭示知识背后的思想方法.
  • 以圆面积推导公式为例，运用现代教育技术将圆分成若干等份拼成长方形（近似），再还原成圆.
  • 揭示了有限和无限的相互转化、近似向精确的转化思想.
  • 揭示了化归、类比、极限等数学思想.
• 学习观之三：数学知识是社会共同体共同建构，具有历史性和文化特征，非纯客观中性.
  • 对比《九章算术》（构造性、机械化算法，解决实际问题）与《几何原本》（抽象性、逻辑性、公理化演绎体系）.
  • 建构主义提示，既要从中国国情出发，选择“有用的数学知识”解决“实际问题”；也要学习国外理论，掌握数学本质特征，通过知识学习掌握逻辑推理方法.
  • 需要教师了解理论产生的背景、精神实质，关心数学历史发展和文化社会价值，灵活运用. 学会对比中西方文化差异，理性设计教学.

儿童认知发展规律（皮亚杰）

• 皮亚杰的“数学认知发展阶段理论”发现“儿童的智力发展展示了一条与数学建构相平行的直线”.
• 以发生认识论为基础，建构主义为指导思想，研究逻辑、数学和心理学概念如何在儿童心理中发展.
• 认为运演是逻辑的核心概念，是划分儿童认知发展阶段的主要标志.
• 将儿童认知发展分为四个主要阶段:
  • 感觉运动阶段（出生到两岁）：通过身体活动协调，逐渐分化出朦胧的自我和非我图式. 图式作用仅限于动作和实物应用，非概念化，没有语言和思维.
  • 前运演阶段（两岁到六七岁）：语言、象征性游戏、意象等出现，认识开始从动作向概念化思维转化. “运演”是内化了的动作，指思维活动或思维动作的操作.
    • 实物化概念：只能用实物把握概念，不能进行概念学习，概念不能离开活动具体性.
    • 表象依赖性：以表象形式将活动内化，符号功能出现，儿童开始以符号描述外部世界. 思维的重要特征是表象依赖——只能依据具体东西表示静态活动或事物.
    • 注意广度片面单一：不能区分想象与现实、一般和特殊，不能看到事物两个或多个方面. 在同一时刻，同时注意的对象不超过两个.
    • 原始性态的推理：出现遵循次序关系或位置关系的推理，按序出现的事件表征活动，未建立真正逻辑因果关系. 随着表象思维进展，发展为初步推理，开始建立对应关系，对形状分类，提出为什么.
    • 运演的前水平：思维处于逻辑结构和空间结构萌芽状态. 不能进行可逆性运演和传递性运演，缺乏可逆传递性导致不能引起守恒的运演. 思维只能朝单一方向（不可逆性）. 传递性运演带有间接性和跳跃性. 不能进行演绎推理和归纳推理.
  • 具体运演阶段（六七岁到十一二岁）：从表象性思维概念化活动过渡到概念性思维，外部行为活动转化为内部心理运演（组合、对应、分类等）. 小学阶段的儿童处于此阶段，是从具体形象思维过渡到抽象逻辑思维的关键阶段，是培养逻辑思维能力的关键阶段. “儿童从此步入了逻辑思维的门槛”.
    • 运演的可逆：能用两种以上关系处理序列化活动，或尝试错误的灵活方式，既能进行正运演也能进行逆运演，理解可逆关系和逆运算.
    • 运演系统的守恒：思维形成可闭合系统或结构，具备正转换和逆转换的运演组合. 正逆运演同时运用使运演具完整性系统，导致系统闭合性，能从系统且自身闭合的整体思维. 系统的闭合性意味着系统内部关系出现守恒特征，即思维可沿相反方向进行转换，以及运演关系的保持.
    • 运演的传递：具守恒运演结构的重要特点，可进行传递性运演（如由 A=B, B=C 得 A=C）. 同时产生新运演，如不完全归纳，不甚严密初步演绎推理，开始处理假设.
    • 注意广度的扩大：能同时把握事物的不同侧面或活动多个方面，同一时刻获取信息量增加. 可依据颜色或形状对事物分类.
    • 运演的直观支撑：概念化从实物性表象概念过渡到内部心理表象概念，能用属性例子说明概念，概念化可脱离实物，在概念学习水平理解概念. 但仍离不开事物直观支撑，不能脱离直观图形把握. 能在不脱离具体前提下思维. 具体运演的直观支撑与前运演实物性活动不同，赋予直观活动运演结构（可逆传递组合），而非前运演实物性活动不具可逆传递性.
  • 形式运演阶段（从十一二岁开始）：思维逐步脱离具体对象，向抽象水平发展.
    • 由具体思维向抽象思维发展：由以实际经验支撑概念向直接掌握抽象概念本质属性获取概念转化，能给抽象概念下定义. 能学习二级或二级以上数学概念（实数、对数、函数、向量、极限等）.
    • 由学习概念向学习命题发展：能进行命题学习. 命题提出的是形式化假设，能将形式联系与内容真实区分开，处理假设而非客观存在. 命题学习是对运演的运演，是二级运演. 这是智力实质性飞跃，但不少成年人未达到此水平.
    • 逻辑思维向形式化推理发展：能运用抽象逻辑思维，进行形式化推理. 能进行几何证明（有图形直观支撑，非彻底形式化）和代数形式化推理（完全在抽象符号间周旋，彻底超越现实具体）.
    • 思维量和思维度向复杂发展：向单变量思维向复合变量思维、单维度思维向多维度思维转化.
    • 朝着自我反省的思维活动发展：原有图式被新活动对象打破时，主体改造原有图式向新平衡发展，即“反身抽象”. 在形式运演阶段在内部心理上逐步形成反身抽象运演，即对自我思维活动反省，是一种元认知活动.
• 皮亚杰理论为不同阶段儿童教什么和怎样教提供了可靠心理学依据.
• 儿童认知发展阶段论表明，认知发展存在人人相同的阶段，但不同人进入各阶段时间不同，受遗传、生活、家庭、社会等影响.
• 儿童认知发展是通过同化和顺应的不断平衡实现的.
  • 同化：将新信息和经验纳入原有认知结构（图式），图式发生量变.
  • 顺应：不能纳入原有图式时，创造或修改原有图式，认知结构发生质变，形成新图式，获得内部平衡.
  • 获得内部平衡后，外界刺激（如对立观点）又产生新的不平衡，即**“认知冲突”**.
  • 认知冲突引发新的平衡需求，儿童通过同化或顺应达到新的高一级平衡.
  • 引发学生的认知冲突是促进学生主动探究的前提.

对教学设计的启示

• 小学数学教学设计要有宏观规划，更要有符合学习和成长规律的微观措施，且措施须符合儿童学习规律才有效.
• 处理好共同发展与个体差异之间的关系. 儿童学习数学内容受年龄限制，需要一定生理、智力基础. 教师需要“适当放慢关键内容的教学进程”、“对不同学生提出不同要求”、“循序渐进”、“因材施教”. 了解学生，顺势而为.
• 处理好直观思维与抽象思维之间的关系. 小学阶段是发展逻辑思维能力关键期，各种基本推理形式在此形成发展，离不开对具体事物进行类或关系的运算.
  • 教学时需要让学生经历**“具体—表象—抽象”**的过程，体验从实际背景中抽象出数学问题、构建模型、寻求结果、解决问题的过程. 在经历“数学化”过程中培养逻辑思维.
  • 对小学生而言，没有直观基础的数学是空中楼阁，没有抽象的数学不是真正数学. 直观与抽象通过逻辑思维联系.
  • 教学设计要注意直观先行，同时将学生掌握数学中的抽象方法和逻辑思维作为数学教育的终极目标.
• 处理好数学知识结构与学习顺序之间的关系.
  • 小学生学习通过同化或顺应进行. 基本过程是新内容与原有认知结构相互作用，形成新的认知结构.
  • 加涅认为学习过程一般经历：理解阶段、习得阶段、储存阶段、提取阶段.
  • 能否形成良好认知结构取决于学习四阶段是否可持续. 教师要在宏观设计基础上，关注每一个活动环节，明确四阶段目的意义，使每一阶段落实，帮助学生形成良好数学认知结构.
  • 教学设计既要关注课堂教学目标也要关注单元目标. 内容既要有数与代数、图形与几何、统计与概率，又要有综合与实践（跨模块、跨学科）.
  • 学生头脑中的数学认知结构是逐步成长的树木，不能奢望立刻成森林，要脚踏实地种好每一棵树，使其经历成长，成为有用之材，最终成森林.
  • 让新知通过同化或顺应纳入学生原有认知结构，使学生头脑中形成结构完整的数学，而不是碎片. 使学生既学习知识技能，又掌握思想方法，最终达到**“教是为了不教”**的目的.