第四章基于数学知识类型的教学设计

第一节数学概念的教学

概念的定义与要素

概念是客观事物的本质属性在人脑中的反映。
布鲁纳认为概念有四个基本要素：

概念的名称
概念的本质属性和非本质属性
概念的例证
概念的定义

数学概念的特点与重要性

数学概念是客观事物在数、量、关系和空间形式方面的本质属性在人脑中的反映。

其表现形式是数学语言中的名词、术语、符号。
数学概念是数学知识和思维的基础。
学生学习困难或解题错误，大多是因为没有理解掌握概念。
数学概念总是在已有概念的基础上形成，涉及的对象关系是纯粹数学意义上的。
数学概念用数学自身的语言描述，语言符号化、精确简练，往往一字不多一字不少。这种特点导致了理解的困难性。

概念的掌握衡量标准

衡量学生是否掌握概念通常从两个方面：

是否理解概念的内涵
是否识别概念的外延

概念的内涵与外延

概念的内涵是概念“质”的反映，外延是概念“量”的反映。两者相辅相成，密不可分。
内涵与外延呈反向对应关系：内涵扩大，外延缩小；内涵缩小，外延扩大。它们是概念不可分割的两个方面。

明确概念的内涵：抓住定义中的关键词语，避免歧义。对概念中的词语作必要的概括，进行同化和编码，认识一般情形的规律性。
明确概念的外延：内涵决定外延，但清晰的外延有利于辨析内涵外延关系，防止非本质泛化，促进对内涵的理解。通过举出符合概念意义的例子来了解概念外延。教师应指出符合概念的例子，并引导学生自己也能举例，进一步举出符合概念属性的例子。

数学概念的学习内容

小学数学概念约有 400 个。主要分布在“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”领域。

“数与代数”领域（近 200 个）：
- 数的概念（自然数、整数、分数等）
- 运算概念（加、减、乘、除等）
- 数的关系概念（大于、小于、约数、倍数等）
- 比和比例概念（比、比值、比例等）
- 量与计量概念（量、计量单位、货币、重量、时间、路程、速度等）
- 式与方程概念（等式、方程、未知数等）
“图形与几何”领域（近百个）：
- 图形概念（点、线、面、体、各类图形等）
- 图形测量概念（长度、面积、体积、容积单位等）
- 图形运动与位置概念（平移、旋转、对称、位置、方向等）
“统计与概率”领域（近 20 个）：
_ 统计、统计表/图（条形、折线、扇形）
_ 平均数等特征数 * 确定、随机、可能、可能性、必然/随机现象等
还包括数学思想方法术语和符号，以及各种单位名称、符号和术语。
学好数学概念是学习数学知识、形成数学思维的先决条件。

数学概念的学习方式

主要有两种：概念形成（顺应）和概念同化（同化）。

1. 概念形成（顺应）

在比较、分析、归纳大量同类事物基础上，概括本质特征，在扩展和改造原有认知结构基础上形成新认知结构的过程。

过程阶段：感知具体事物；发现数学特征；抽象本质特征；用语言或符号表征（明确外延）；强化新旧概念联系和区别。
要点：感知、辨别刺激模式；抽象共同属性，提出假设；在情境中修正、检验假设，形成概念；把新概念一般化，用数学语言符号表达。
主要是从大量实例和实际经验出发，以归纳思维方式获得概念。与皮亚杰的“顺应学习”实质相同。
教学方式：设计适于概念形成的情境，留给学生自主活动空间，发挥教师语言中介作用。
特点：需要观察、感知、操作等活动，比较耗时，学习效率难以保障。

2. 概念同化（同化）

利用学生原有概念，以定义或描述方式直接揭示新概念内涵外延，形成新概念并纳入原有认知结构的过程。

过程阶段：“唤起”原有相关概念；揭示新概念内涵外延；比较新旧概念联系区别；强化新概念并应用。
基础是间接经验，思维方式是从一般到特殊。与皮亚杰的“同化学习”实质相同。
要点：新概念需具逻辑意义；学生已有认知结构具备同化基础和思维潜能；学习者主动使新概念与原有观念相互作用，加工、改造、整合，获得实际意义，纳入结构。学生利用已知知识作为“固着点”主动建构意义。
主要是从抽象定义出发，以演绎思维方式理解掌握概念。
教学方式：突出概念关键特征，呈现正例与反例，在应用中强化理解。
特点：易流于表面理解，需要借助直观、感性材料。

两种方式不是独立互斥，而是交织在一起、协调发挥作用。应根据概念特点有机结合，提高效率。

数学概念的教学设计案例分析

（如“分数的初步认识”）体现了概念形成和同化的应用。

侯老师的案例是概念形成方式教学，从具体实例出发，基于感性认识揭示本质属性，重在感悟探究尝试。揭示概念间关系（如“平均分”与“分数”），有利于理解。
封老师的案例是概念同化方式教学，是对已知概念的细化理解。通过具体化、不断深入理解，完善认知结构。

概念教学一般层次

概念引入、概念揭示、概念理解与巩固、概念联系与发展、概念应用。

第二节数学规则的教学

数学规则的定义与特点

经过严格论证的数学命题形式，揭示两个或多个概念之间固有关系的判断，叫作数学规则。

数学规则的学习是数学技能形成的前提。
可以增强学生按规则办事的意识。
学生能掌握形成或论证规则的一般方法，并迁移到其他问题情境。

小学数学中的规则

“数与代数”领域：运算法则、四则运算关系、运算定律/性质、常见数量关系、基本性质、探索规律、解方程等。
“图形与几何”领域：三角形内角和、三边关系、计算公式等。
“统计与概率”领域：一些方法和规则。

规则学习的类型

规则（或命题）学习有三种基本形式：上位学习、下位学习、并列学习。

1. 上位学习

新规则在概括水平上高于原有认知结构中的相关知识时获得新规则的学习过程。

小学中许多公式推导、性质获得、数量关系式提炼都是上位学习。
一般以归纳推理为主。
实质上是皮亚杰学习理论中的“顺应学习”。
案例分析：可能性大小的探究（从大量实验结果发现规律）属于上位学习。典型例证选取重要。

2. 下位学习

原有认知结构中存在概括水平高于新规则的相关知识时获得新规则的学习过程。

一般以演绎推理为主。
实质上是皮亚杰学习理论中的“同化学习”。
案例分析：可能性大小的练习（应用原有规则解决新问题）属于下位学习。

3. 并列学习

从把握新旧知识的相互联系入手，分析相似之处，通过类比推理获得新规则的学习过程。

案例分析：学习加法交换律后学习乘法交换律，属于并列学习。通过迁移规律，采用并列学习方法，使知识结构化、成体系，提高效率和效果。

一堂课中可能用到规则学习的多种形式。各种学习形式都应发掘利用学生原有认知结构中积极因素，促进知识迁移，提高成效。例如，简便计算中可能涉及上位学习（定律）、并列学习（不同运算定律）、下位学习（实际应用）。

规则教学的设计

注意明确规则学习基本形式，确定推理主要形式。
重视规则的形成过程。
创设问题情境，让学生自觉自愿进行规则训练。
重视把规则应用于新的问题情境，丰富发展学生认知结构。
规则教学是技能形成前提，应遵循一般过程和学生内心体验。
“新课标”下，规则教学不仅是知识学习、技能载体，也是思维发展、能力提高载体。设计时需融合多种学习形式。

过度技能训练的问题

教师易将规则教学变成技能训练课，只重视规则本身，忽视形成过程和学生内心体验。

技能训练突出特征是通过“题海战术”达到规则的熟练应用。练习次数增加，所需时间减少，错误数减少。
高原现象：过多的技能训练会导致学生成绩停滞甚至下降。
原因：学生只记住规则、会应用规则解题，但不了解规则形成过程，知识迁移困难。死记硬背结论性知识，不能转化成能力，无法迁移到新情境。
“题海战术”并非长期有效，值得反思。

第三节数学问题解决的教学

“问题解决”（Problem Solving）的内涵

数学界对“问题解决”内涵没有统一认识。

纽厄尔和西蒙认为，个体想做某事但不能立刻知道所需采取的一系列活动时，产生了问题。
问题包含三个要素：初始状态、过程、目标状态。
以往数学问题通常给定条件和结论（初始状态和目标状态已知），而实际问题常未贴数学标签。
问题解决教学不仅重视过程和克服障碍的方法，还要重视初始状态描述和目标状态延拓。
学会用数学的眼光去观察分析初始状态、过程和目标状态是重要的。

“问题解决”的教学模式

小学数学概念学习、公式推导、数量关系揭示等都体现了“问题解决”全过程。
基本模式设计步骤：

创设情境（产生学习需要）
产生数学问题
探索问题
构建模型
解决实际问题
推广与应用

这与数学建模过程类似：建立猜想 → 举例验证 → 抽象概括 → 寻求方法 → 检验和修改。
教学过程中，学生在完整、真实的情境中产生学习需要，通过学习共同体成员互动交流，即合作学习，共同完成任务。

“问题解决”的教学要点

各个环节并非直线型，而是不断反复（提出问题—探究—再探究）。
并非所有问题都独立研究，挑一到两个中心问题探究。
注意以下几点：
- 创设情境：从学生感兴趣话题入手，激发兴趣和解决问题欲望，促使积极探究。
- 给予机会：帮助学生学会用数学眼光观察发现问题，促学生积极参与；教学中抛出的问题应让每个学生有机会参与。
- 引导发现：让不同学生用不同学习方式学习。

应用范围

“问题解决”模式不仅可用于“综合与实践”、“数学广角”，也可用于“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”等内容的教学设计。

案例分析（如“简单的数量关系”）

通过创设情境激发认知冲突，调动已有经验解决问题，概念自然生成。注重几何直观（线段图）帮助理解抽象数量关系，与旧知识建立联系，辨析相同数学模型在不同情境中表征应用，帮助建立互通知识结构，用联系观点解决问题。学生经历完整过程，感受“数学化”全过程，深入理解数量关系和模型应用合理性。

第四节数学广角的教学

“数学广角”的特点与目标

“数学广角”是“新课标”后首次出现在小学数学教材中的特色内容。

人教版单独列为一个单元，其他版本以“思考题”形式安排在不同内容领域。
教学目标：满足学有余力的学生拓展思维需要，给予学生接触数学思想方法的机会，以拓展学生的数学思维和视野。
“广角”引申为“宽泛、广泛丰富”，指通过日常生活简单事例展现数学应用的广泛性和多样性。
让学生感悟数学的博大和价值。
是学生领悟数学思想方法的重要载体。
教师要求了解和掌握“数学广角”的内容，明确其蕴含的数学思想方法。

数学各分支的思想方法简介（与小学数学相关）

数学发展包含通过深化、推广原有理论形成各分支的过程。各分支逐步形成研究问题的思想方法。数学思想是数学的核心。

代数学：起源于算术。从算术发展到代数是数学史划时代事件。代数使复杂计算变简单机械运算。初等代数（古典代数）主要含四则运算、代数式、方程等。高等代数引入矩阵、向量、集合、群等。变量引入数学，使运动和辩证法进入数学。
数论：研究正整数的性质和相互关系。分支有初等数论、解析数论、代数数论、几何数论。奇数、偶数、质数、合数、最大公约数、最小公倍数等属于数论内容。也研究用有理数逼近实数。初等数论是小学教师需要系统学习教授的学科知识。
几何学：古埃及人测量土地面积等将数形联系。欧几里得《几何原本》是第一次数学危机（无理数发现）的产物。危机表明几何真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比表示。使人们认为推理证明才可靠。
解析几何学：数形关系发展的两次飞跃。第一次是实数与直线点一一对应，建立直线坐标系，数形结合。第二次是笛卡儿创造直角坐标系，形成解析几何学。许多难题在直角坐标系中变成按确定法则运算的问题。包括平面和空间解析几何。
数学分析：研究微分学和积分学（微积分）。使研究对象从常量转向运动、变化中的量，从“有限”转向“无限”。微积分是初等/高等数学分水岭，是学习自然科学和工程技术的第一把钥匙。概念实质是各种形式的极限。极限概念含“无限接近”过程和结果。
函数论：在数学分析基础上发展，含实变函数论、复变函数论。实变函数论基础是点集论，研究点集函数、序列、极限、连续性、可微性、可积性等。函数是高等数学最重要基本概念。
集合论：康托尔创建，是现代数学基础。实质是关于“无限”的理论。经历艰苦斗争。国际数学家会议肯定了集合论及其应用。康托尔描述集合为将确定、有区别、具体或抽象的东西看作一个整体。在数学学习中作用重要：研究几何图形集合，概念形成基础（各概念可用集合定义），通过包含关系建立概念体系。
概率论和数理统计：研究随机现象中的数量规律。基本思想是从样本分析判断总体状态或论断正确的概率。与必然数学密切相关，随机数学研究中数据计算要用到必然数学。
模糊数学：研究界限模糊的量如何用数据表示。为研究计算机智能化奠定理论基础。
运筹学：较新的数学分支，解决生产实践中安排、筹划、调度、使用、控制等问题。内容庞杂，应用广。含规划论、优选法、对策论（博弈论）、排队论等。
- 优选法：解决问题的最优方法，要求找最优解并提高效率。分单因素和多因素优选法。常用对分法、0.618 法、分数法。“数学广角”中的烙饼问题、沏茶问题、找次品等属于优选法。
- 对策论（博弈论）：从策略角度研究如何在竞赛性活动中取胜。胜负取决于双方策略选择。“田忌赛马”是典型。
其他分支：微分方程、射影几何、微分几何、数理逻辑、近世代数、泛函分析、计算数学、拓扑学等。

小学数学包括的数学思想方法

数学思想方法有狭义（研究数学本身的论证、运算、应用）和广义（还包括对象、性质、特性、作用及其产生发展规律）之分。从方法论角度研究数学发展规律，具一般意义。

集合思想：传统数学理论基础，在小学重要。主要通过画集合图渗透。渗透集合概念、集合关系（包含、等价）、集合运算（并集、交集、差集）。
对应思想：在数学中无处不在，各分支都用到。许多具体思想方法来源于对应思想。
数形结合思想：通过数形间的对应来研究、解决问题。把图形性质问题转化为数量关系，或反之。化繁为简、化抽象为具体、化难为易。数的认识、图形测量、确定位置等都利用数形结合。
函数的思想：一年级学习中有所体现。几何图形周长、面积、体积计算公式等实际用解析法表示变量间函数关系，渗透幂函数、多元函数思想。统计图表隐含函数表示法（列表法、图像法）。教学时利用表图直观展现对应关系。函数三种表达形式（列表法、图像法、解析法）小学都有涉及，定义域、值域概念需教师渗透。
变换的思想：小学数学中变换含运算中恒等变换、解方程等量代换，图形几何中等积变换、图形旋转平移等。教学渗透“变与不变的思想”，化繁为简，变未知为已知。
极限思想：从数量上看“无限多”；从图形上看“无限延伸性”；从概念上看“包含关系”；从方法上看“无限逼近”。
此外还有：统计思想、排列组合方法、优选法、运筹法、化归思想、模型思想、等量代换思想、算法思想等。
基本思想：分析与综合、比较与分类、抽象与概括、归纳与演绎、类比与联想等。

“数学广角”的教学设计

内容：搭配（排列组合、乘法/加法原理）、推理、集合、沏茶问题（运筹法、优化）、烙饼问题（运筹法、优化）、田忌赛马（博弈论）、鸡兔同笼（假设法、列表法、数形结合）、植树问题（建模、化繁为简）、找次品（优化）、数与形（数形结合、化归）、鸽巢问题（抽屉原理）等。许多是“奥数题”。
面向全体学生，教师应准确定位教学目标。

案例分析（“找次品”）

体现：

教学环节安排合理，层层递进：从 2 个、3 个、4 个、8 个、9 个、26 个、27 个球找次品。
- 通过 2 个感受重量/天平情况；
- 3 个体会推理（天平外小球）；
- 4 个理解从最不利情况考虑“最少”含义；
- 8 个感悟三分法减少称次；
- 9 个体会平均分是最优分法；
- 27 个、26 个验证猜想。
- 不能平均分时产生认知冲突，通过交流得出完善方法（尽量平均分，灵活运用结论）。把复杂问题分解成小问题。
重视数学思想方法的渗透与运用：落实“四基”。重点让学生领悟思想方法，用学到的方法解决实际问题。渗透思想方法包括：化繁为简（先解决简单问题发现规律），化归思想（把新问题转化到已有经验），猜想与验证（“猜想—验证—运用”过程，学获结论思想方法，提高探索能力），优化思想（作为系统和统计思想中的一种），数形结合思想（用多媒体演示圆等分，直观认识优化策略）。
教学方法选择符合学生实际，学生是“主角”：以探究法为主，结合谈话法、练习法。学生通过观察、实验、操作、讨论、思考等活动研究。教师创设情境引发认知冲突，激发探求欲望。知识是学生主动探求获取的。采用同桌讨论、画图思考、合作交流等多种学习方式，照顾不同水平学生，节约时间。
教师语言简练，评价反馈及时，课堂效率高：提问通俗易懂；反馈及时有效，评价恰当；能利用学生错误回答“生成”有效课堂资源。

“数学广角”教学设计的注意事项

注意拓展学生的知识面：内容难度较高，涉及数学各分支，用通俗易懂事例让学生领略不同思维方式。
帮助学生掌握数学思想方法：教学目标应主要是“渗透和运用不同数学思想方法，掌握解决问题基本策略，感悟数学不同思维方式”。米山国藏认为知识会忘，但数学精神和思想方法长期发挥作用。
注意培养学生的交流能力：学习重在渗透思想，非教授解题技巧。给学生充分发表意见机会，学从数学视角思考交流，用数学语言表达，学会倾听理解他人。
培养学生的创新思维：最终目标是培养发展学生创新思维和实践能力。让学生经历数学知识“创造”过程，感受数学博大精深、理性美。